海洋电磁探测作为一种重要的海洋地球物理探测技术，在海洋油气资源勘探和海底地质结构研究等领域具有广阔的应用前景。在海洋电磁探测过程中，常常以舰船为载体释放与回收海底电磁采集站。舰船在海水中行驶会产生尾流，海面也经常产生海浪，它们都会因为切割地磁场而产生感应电磁场，此类感应电磁场是海洋电磁探测的主要噪声来源^[1-2]。此外，随着科技的发展，舰船的隐身性能逐渐受到重视，从而使舰船的特征信号很难捕捉。当隐身舰船的航速低于一定数值时，很难利用声呐技术对其进行探测和跟踪，因此发展非声波探测手段就变得尤为重要。在此情况下舰船尾流因为难以消除成为新的舰船信号源，而舰船在海水表面行驶时由于是以海浪作为背景，因此海浪信号是尾流信号的主要噪声之一。舰船尾流探测技术主要包括声特性探测、电磁特性探测、光特性探测和热特性探测等。海水水域环境、海水表面风速、舰船航速和舰船几何尺寸等因素均可对舰船尾流产生影响^[3]，且不同条件下舰船尾流的电磁学、光学、声学和热学等特性截然不同^[4]。在舰船尾流探测和舰船定位中，电磁探测具有其独特的优势，如识别能力强、效率高、定位精度高、命中率高和成本低等。综上所述，研究尾流感应电磁场和海浪感应电磁场的特性以及海浪背景下尾流感应电磁场的特性，对于海洋电磁探测和舰船尾流电磁探测均具有重要理论意义和实际应用价值。海浪感应电磁场的研究始于二十世纪五、六十年代。Weaver^[5]基于表面波理论建立了二维无限深海水中海浪感应磁场模型，研究结果表明海浪感应磁场大小与海浪波高和波长有关。Groskaya等^[6]推导出了浅海表面重力波感应磁场的解析解，张自力等^[7]分析了二维无限深海水中海浪感应磁场的频谱特征。朱晓建等^[8]将不同频率的海浪感应磁场叠加，得到了三维无限深多频海浪感应磁场的响应。目前关于三维无限深海水中海浪感应电磁场的研究尚不完善，多数研究针对的是单频海浪感应电磁场。事实上海浪是一种多频三维海水运动，针对多频海浪感应电磁场计算方法的研究及特性分析需要继续深入。在舰船尾流感应电磁场研究方面，Dan^[9]建立了无限深水面船舶尾流感应电磁场模型，结果表明尾流感应电磁场是可测的。张伽伟等^[10]模拟了浅海中水面船舶产生的感应电磁场，Zou等^[11]研究了航空磁测尾流感应磁场的可行性，Yaakobi等^[12]推导出了有限深水面船舶感应磁场在空气层中的表达式。王向坤等^[1]考虑了有限深海浪以及海底介质电导率的影响，丰富了浅海中船舶尾流感应电磁场模型。笔者在前人研究的基础上推导出了无限深海水中海浪和尾流感应电磁场新的解析表达式，进一步完善了无限深海水中海浪感应电磁场和尾流感应电磁场的计算方法。在海浪感应电磁场模拟中考虑到海浪的多频性和随机性，将各种频率随机初相位的单频海浪感应电磁场线性叠加，得到多频海浪感应电磁场的响应，并给出空气层和海水层海浪感应电磁场的表达式。在推导舰船尾流的感应电磁场时借鉴海浪感应电磁场的推导思路。利用上述推导结果针对无限深海水中尾流和海浪感应磁场各自的传播特性以及无限深海水背景下海浪对尾流感应磁场的影响进行计算和分析，并研究风速和船速变化对舰船尾流感应磁场的影响规律。

1 无限深海水中海浪和尾流感应电磁场理论

为了研究的方便，针对运动中的水面舰船建立如图1所示的直角坐标系。设z方向为垂直方向，z=0代表海面，z＞0的区域为空气层，z＜0的区域为海水层，并假定舰船以恒定速度U在海面沿x轴负方向运动，则尾流的运动方向为x轴正方向。对小尺度的海浪和舰船尾流而言，可假定研究区域内的地磁场为固定值，则由图1的几何关系可以得到总地磁场的各分量为

式中，B_E为地磁场的磁感应强度；I为地磁倾角；α为地磁北极与x轴正方向的夹角。

假设海浪和尾流运动的速度分别为V_w和V_s，忽略海浪和尾流之间的相互作用，则海浪和尾流切割磁场所产生的感应电场可表示为E_i=（V_w+V_s）×（B+B_E），此处B为感应磁场的磁感应强度。由于地磁场的磁感应强度B_E远大于感应磁场的磁感应强度B，所以海浪和尾流的感应电场可近似为E_i=（V_w+V_s）×B_E。尾流和海浪的感应电磁场满足以下麦克斯韦方程组：

式中，E为电场强度；H为磁场强度；μ、σ、ε分别为介质的磁导率、电导率和介电常数。

由式（2）、（3）可知，若已知任一时刻海洋中某点的海浪速度V_w（x，y，z，t）和尾流速度V_s（x，y，z，t）以及B、E的边界条件，就可以通过计算得到空气和海洋中某点的B、E。因此，求解B、E的前提是对速度函数V_w（x，y，z，t）和V_s（x，y，z，t）的求解。假设海水是不可压缩无旋流体，根据不可压缩流动的定义，海水密度不随海水流动发生变化，根据流体的连续性方程有$\nabla$·（V_w+V_s）=0。利用该条件，由式（2）和（3）可得到尾流与海浪感应磁场所满足的微分方程为

Higgins等^[13]将三维海浪视为由M×N个振幅为a_mn、角频率为ω_m、波数为k_m、随机初始相位为φ_mn、传播方向和x轴夹角为θ_n的正弦波线性叠加而得到，其中M为频率数目、N为传播方向数目，则无限深海水中多频三维海浪速度场可以表示为

其中

$\begin{array}{c}{\mathit{q}}_{\mathrm{w}}\left(z\right)=a_{mn}{\omega }_{m}exp\left(k_{m}z\right)\left(i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_n{\mathit{e}}_x+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_n{\mathit{e}}_y-{\mathit{e}}_z\right),\\ a_{mn}=\sqrt{2S\left({\omega }_m,{\theta }_n\right)\mathrm{\Delta }\omega \mathrm{\Delta }\theta },\\ S\left({\omega }_m,{\theta }_n\right)=\frac{8.1\times {10}^{-3}}{4k_m^3}exp\left(\frac{-0.74g^2}{k_m^2{U}_{19.5}^4}\right)\cdot \frac{1}{\pi }[1+\\ \left.a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\left({\theta }_n-\theta \right)+b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\left({\theta }_n-\theta \right)\right],\\ a=0.5+0.82exp\left[-{\omega }_m^4/\left(2{\omega }_{\mathrm{p}}^4\right)\right],\\ b=0.32exp\left[-{\omega }_m^4/\left(2{\omega }_{\mathrm{p}}^4\right)\right],\\ {\omega }_{\mathrm{p}}=0.877g/U_{19.5}.\end{array}$

式中，a_mn为海浪振幅函数，与海浪谱S（ω_m，θ_n）有关，本文中采用的海浪谱由PM谱^[12]与Cote^[14]提出的方向谱组成; ω_m为角频率，满足频散关系式ω²_m=gk_m; g为重力加速度; φ_mn为初始相位，随机分布在（0，2π）范围内; U_19.5为海平面上方19.5 m处的风速; Δω和Δθ分别为角频率和传播方向的分割间隔; θ为风向与x轴的夹角，称为风向角; θ_n分布在海平面风向两侧π/2的范围内。

舰船的尾流速度场可以表示为^[10]

其中

$\begin{array}{c}{\mathit{q}}_{\mathrm{s}}\left(z\right)=S\left(\theta \right)exp\left(k_{0}z\right)\left(\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta {\mathit{e}}_x+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta {\mathit{e}}_y-{\mathit{e}}_z\right),\\ S\left(\theta \right)=-\frac{2\mathrm{i}{k}_0^{2}U}{\pi }\iint \frac{\partial Y\left(x^{\mathrm{\text{'}}},z^{\mathrm{\text{'}}}\right)}{\partial x^{\mathrm{\text{'}}}}exp\left(k_0{z}^{\mathrm{\text{'}}}+\right.\\ \left.\mathrm{i}{k}_0{x}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)d{x}^{\mathrm{\text{'}}}d{z}^{\mathrm{\text{'}}},\\ {\omega }_0=k_{0}Ucos\theta ,k_0=g{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^2\theta /U^2.\end{array}$

式中，ω₀为尾流速度场角频率；k₀为尾流波数；Y（x′，z′）为船形函数，与船舶的几何特性有关。根据船体理论，细长型船的船形函数用如下公式^[9]表示：

式中，B为船宽；l为半船长；D为舰船吃水深度；b₁、b₂、c₁、c₂为权重系数，与船体主尺度（包括船长、船宽和吃水深度等参数）有关，一般都是小于1的常数。为了简化计算，本文中仅考虑舰船主尺度对尾流特性的影响。对于细长型船体，假设舰船是抛物线型，其船型函数可表示为^[8]

下面分别求解尾流和三维海浪感应电磁场所满足的微分方程（4）。尾流感应电磁场是由尾流速度场引起的，由于尾流速度场是简谐波，根据线性波动理论，其感应电磁场也一定具有简谐波函数的形式^[5]，故尾流感应电磁场可表示为

类似地，海浪感应电磁场可以表示为

式中，h_θ（z）和e_θ（z）为尾流感应磁场与感应电场表达式中的待求解部分， h_θ，mn（z）和e_θ，mn（z）为海浪感应磁场与感应电场表达式中的待求解部分，均需要基于速度场通过求解麦克斯韦方程组得到。

由于尾流速度场和海浪速度场与它们激发的感应电磁场具有相同的简谐波函数形式，且感应电磁场指数项中的随机初始相位φ_mn不参与运算，所以可以统一令

式中，q（z）为q_s（z）或q_w（z）；h（z）为尾流和海浪感应磁场表达式中待求解部分h_θ（z）或h_θ，mn（z）；e（z）为尾流和海浪感应电场表达式中待求解部分e_θ（z）或e_θ，mn（z）；角频率ω为尾流速度场的角频率ω₀或海浪的角频率ω_m；波数k为尾流的波数k₀或海浪的波数k_m。

将式（14）代入式（4），可得到深海条件下空气和海水中感应磁场微分方程的通解为

式中， a₁、 a₂为待定系数；δ²_i=k²+iωμσ′_i，σ′_i=σ_i+iωε_i（i=0，1）为复电导率，下标i=0，1分别对应空气层和海水层； P为包含速度场和地磁场信息的源项，其表达式为

$\mathit{P}=\left[{\sigma }_1\left({\mathit{B}}_{\mathrm{E}}\cdot \nabla \right)\mathit{q}\right]\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-\mathrm{i}(\omega t-kx\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -ky\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \left)\right].$

将式（15）和（16）代入式（3），可得到感应电场的表达式为

其中

$\mathit{Q}={\sigma }_1\left(\mathit{q}\times {\mathit{B}}_{\mathrm{E}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-\mathrm{i}(\omega t-kx\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -ky\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \left)\right].$

式中，Q为另一个包含速度场和地磁场信息的源项。

利用空气和海水分界面处电磁场的连续性条件可求得待定系数 a₁、 a₂，进而由式（16）和式（17）得到海浪以及尾流感应电磁场的表达式。考虑到空气层和海水层均可视为非磁性介质，其磁导率相同，则分界面处感应磁场的各分量连续，由式（16）可得

根据均匀介质中感应磁场的散度为零的条件，由式（14）可得

其中

${\mathit{e}}_{\rho }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta {\mathit{e}}_x+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta {\mathit{e}}_y.$

将式（16）中的第二个表达式代入式（19），并考虑到源项P的特点，利用正交关系和坐标变换可得

在海水分界面处，感应磁场的垂直分量以及该分量对z的偏导数连续，由式（16）可得

由式（21）、（22）解得

将式（23）代入式（20）得到 a₂，再由式（18）可得到a₁。

对海浪感应电磁场，需要将上述表达式中的k和ω替换为海浪的波数k_m和角频率ω_m，将源项P和Q替换为由海浪速度场q_w（z）求取的P_w和Q_w后进行叠加运算，从而求得海浪感应电磁场的响应。对尾流感应电磁场，需要将表达式中的k和ω替换为尾流波数k₀和角频率ω₀，将源项P和Q替换为由尾流速度场q_s（z）求取的P_s和Q_s后对表达式进行积分运算，从而求得尾流感应电磁场的响应。

2 海浪和尾流感应磁场的数值模拟

在进行数值模拟时假设空气和海水的电导率分别为σ₀=0 S·m^-1和σ₁=5 S·m^-1，空气的相对介电常数为1，海水的相对介电常数为81。取地磁场磁感应强度为|B_E|=5×10⁴ nT，地磁倾角I=π/6，地磁北极与x轴正方向的夹角α=π/10。

2.1 尾流感应磁场

假定半船长l=20 m，船宽B=5 m，舰船吃水深度D=1.5 m。当船速U取9、10和11 m/s三种不同的数值时，海平面坐标x=1 m、y=1 m处尾流感应磁场水平分量的大小|B_x|和垂直分量的大小|B_z|随海水深度的变化关系如图2所示。由图2（a）可以看出，舰船尾流感应磁场的水平分量|B_z|有两个极值点，分别出现在海面z=0处和海水表面下方的海水中。尾流感应磁场水平分量的符号在稍低于海水表面的海水中发生改变，其大小先随海水深度的增加从海面z=0处的最大值快速减小至零，然后随海水深度的进一步增加而增大到反向极大值点，在达到极大值点后再随海水深度的增加而逐渐衰减至零。由图2（b）可以看出，海水中尾流感应磁场的垂直分量|B_z|先随海水深度的增加从海面处的某一数值快速达到极大值，然后随海水深度的进一步增加而呈现较为缓慢的指数衰减。对比图2（a）和（b），尾流感应磁场水平分量在海水中的符号改变点（即零值点）与垂直分量在海水中的极大值点对应的深度相同，该深度和尾流感应磁场水平分量在海水中的极大值点对应的深度均随船速的增大而增加，只不过后一个深度随船速的改变更加明显。另由图2可以看出，海面上方空气中尾流感应磁场的水平分量和垂直分量均随高度的增加呈指数衰减，且在空气中比在海水中衰减得更快。舰船尾流感应磁场B_x与B_z这两个分量的幅度差别不大，其数值均在同一数量级。在其他条件相同的情况下，舰船速度越大，其尾流感应磁场的幅度越大。

取船速U仍分别为9、10和11 m/s，海面下方1 m处舰船中心线上（y=0、z=-1 m）尾流感应磁场的水平分量B_x和垂直分量B_z随舰船后方坐标x的变化关系如图3所示。由图3可以看出，不同船速情况下B_x和B_z均随x的变化呈周期性振荡，B_z的振荡幅度均稍大于B_x的振荡幅度，且距离舰船越远它们的振荡幅度越小。另由图3可知，船速U越大，B_x和B_z的振幅越大。

取船速U为10 m/s，图4给出了t=0时刻海面下方z=-1 m处B_x和B_z在舰船后方xy平面上的分布情况。由图4可以看出，尾流感应磁场的水平分量和垂直分量的空间分布规律相似，且各分量的空间分布和舰船尾流速度的分布具有一致性，都呈现“V”形分布，这种尾流又称为开尔文尾流^[15]，开尔文尾流的感应磁场主要集中分布在“V”形区域内，由向船后方传播的横波和向四周辐散的扩散波组成。在“V”形区域的边界上（又称为开尔文臂^[15]），扩散波具有局部最大值，在“V”形区域外尾流感应磁场快速衰减。由于尾流感应磁场的幅度在开尔文臂区域存在局域最大值，所以在辨别舰船尾流特征信号时应把开尔文臂作为重点研究区域。

取船速U分别为 12和14 m/s，图5给出了t=0时刻海面下方z=-1 m处感应磁场的水平分量B_x在舰船后方xy平面上的分布情况（由图4知，B_z分量与B_x分量的分布状况相似，故只给出了B_x分量的分布图）。对比图5和图4（a）可以看出，在其他条件不变的情况下，船速越大，舰船尾流感应磁场的幅度越大，“V”形区域内感应磁场周期性振荡沿尾流运动方向的空间间隔越大。

2.2 海浪感应磁场

在模拟海浪产生的感应磁场时取风向角θ=π/4，海浪的频率范围为0.02~1 Hz，所选择的频率个数和方向分割数目为M=N=20。取海平面上方19.5 m处的风速V（V=U_19.5）分别为8、10和12 m/s，图6给出了海平面坐标x=1 m、y=1 m处海浪感应磁场不同分量的大小随海水深度的变化关系。对比图6与图2可以发现，尽管海浪产生的感应磁场与舰船尾流产生的感应磁场具有完全不同的来源，但两种感应磁场随海水深度z的变化规律相似。对比图6（a）和（b）可以看出，与图2所示舰船尾流感应磁场不同的是，海水中海浪感应磁场垂直分量的极大值远大于其水平分量的极大值。

2.3 海浪背景下舰船尾流感应磁场

下面分析无限深海水中有海浪的背景下舰船尾流产生的感应磁场。首先固定风速V=10 m/s，风向角θ=π/4，取船速U分别为9、10和11 m/s，海平面坐标x=1 m、y=1 m处尾流感应磁场水平分量的大小 |B_x|和垂直分量的大小|B_z|随海水深度的变化关系如图7（a）和（b）所示。其次固定船速U=10 m/s，风向角保持不变，取风速V分别为8、10和12 m/s，海平面坐标x=1 m、y=1 m处尾流感应磁场|B_x|和|B_z|随海水深度的变化关系如图7（c）和（d）所示。

对比图7（a）与图2（a）可以发现，施加海风的影响后，舰船尾流感应磁场的水平分量|B_x|并没有明显的变化。对比图7（b）与图2（b）可以看出，施加上述方向海风的影响后，舰船尾流感应磁场的垂直分量|B_z|显著增大，变化明显，这说明风速对舰船尾流感应磁场|B_z|分量的影响要远大于对|B_x|分量的影响。上述结论可以通过对比图6（a）和（b）得到解释，由于海风引起的海浪感应磁场的垂直分量|B_z|远大于水平分量|B_x|，而舰船尾流感应磁场的|B_x|与|B_z|差别相对较小（图2），故对舰船尾流施加海风的影响后|B_z|变化明显。也正是由于上述原因，图7（c）与图6（a）相比变化明显且不同风速下|B_x|的曲线差别较小（对|B_x|的主要贡献来自于舰船速度），而图7（d）与图6（b）相比则变化不大（对|B_z|的主要贡献来自于风速）。另由图7可以看到，在正常的船速和风速取值范围内，海浪背景下舰船尾流感应磁场的数值一般不会超过10 nT。

取船速U=10 m/s、风速V=10 m/s，图8和9分别给出了不同风向角情况下t=0时刻海面下方z=-1 m处舰船尾流感应磁场的水平分量 B_x和垂直分量B_z在舰船后方xy平面上的分布情况。由式（5），由于风向对尾流感应磁场的影响存在周期为π的周期性，θ=π与θ=0的仿真结果完全相同，故图8和9没有给出θ=π的分布。另外，计算发现，风向角为3π/4时的仿真结果与风向角为π/4时的仿真结果相对于y=0呈对称分布，即风向角为π/4时尾流感应磁场在图8和9上半区域的分布与风向角为3π/4时尾流感应磁场在图8和9下半区域的分布相同，反之亦然，故图8和9也没有给出θ=3π/4的分布。

与图4相比，由于海风引起的海浪的存在，在图8和9的“V”形区域尤其是开尔文臂区域内，尾流感应磁场因受到海浪感应磁场的影响而产生更加剧烈的震荡，而在“V”形区域之外主要是海浪产生的感应磁场，该磁场在xy平面上基本呈等幅度变化。另外，对比图9与图8可以看出，海浪感应磁场垂直分量B_z的振荡较水平分量B_x的振荡剧烈，其对“V”形区域内尾流感应磁场的影响也更大。对比图8和9不同风向角对应的图像可知，风向角为0（此时尾流运动方向与风向相同，舰船运动方向与风向相反，处于逆风行驶状态）或π（此时尾流运动方向与风向相反，舰船运动方向与风向相同，处于顺风行驶状态）即舰船运动方向与风向平行时，海浪对尾流感应磁场的影响最大，此时海浪感应磁场对尾流感应磁场所在的全部“V”形区域都有比较明显的影响。当风向角为π/2即舰船运动方向与风向垂直时，海浪感应磁场对尾流感应磁场的影响最小。当风向角为π/4时，海浪感应磁场主要分布在图8（b）和图9（b）的上半区域，海浪感应磁场对尾流感应磁场的影响主要表现在“V”形区域的上半部分，由式（5）知这是由于海浪感应磁场的大小沿着风向两侧逐渐衰减造成的。如前所述，风向角为3π/4时的结论正好相反。另由图8和9中不同风向角对应的图像可以看出，在上述船速和风速参数下，尽管不同风向的海浪对舰船尾流感应磁场的影响有差别，但总体而言差别不大。

取船速U=10 m/s、风向角θ=0，图10和图11分别给出了不同风速情况下t=0时刻海面下方z=-1 m处舰船尾流感应磁场的水平分量B_x和垂直分量B_z在舰船后方xy平面上的分布情况。分别对比图10（a）与图8（a）、图11（a）与图9（a）可以看出，对于风速为8 m/s（小于10 m/s的船速）的情况，海水中海浪感应磁场的强度更小，影响更弱，此种情况下在“V”形区域内尾流感应磁场占主导作用，尾流感应磁场的整体变化规律与无风速情况下基本一致，因此图10（a）与没有风速影响的图4（a）接近、图11（a）与没有风速影响的图4（b）接近。由图10（b）和图11（b），当风速增加到12 m/s（超过10 m/s的船速）时，海水中海浪感应磁场的强度显著增大，对尾流感应磁场的影响明显增强。由图10（c）和图11（c），当风速增加到14 m/s时，海水中海浪产生的感应磁场占据主导地位，“V”形区域内尾流感应磁场基本被海浪感应磁场覆盖。

3 结论

（1）舰船尾流感应磁场的幅度在靠近海面的海水中均存在极大值点，且这些极大值点的数值和对应的海水深度均随船速的增大而增加，舰船尾流感应磁场在达到极大值点后随海水深度的继续增加呈指数衰减。舰船尾流感应磁场沿尾流运动方向呈周期性振荡，且距离舰船越远振荡幅度越小。在海水中某一深度处舰船尾流感应磁场主要集中分布在一个“V”形平面区域内，且船速越大，“V”形区域内感应磁场周期性振荡的幅度越大，沿尾流运动方向振荡的空间间隔越大。

（2）海浪感应磁场随海水深度的变化关系与尾流感应磁场相似，且风速越大海浪感应磁场的幅度越大。与舰船尾流感应磁场不同的是，海浪感应磁场z分量的幅度远大于x分量。

（3）海浪对舰船尾流感应磁场z分量的影响大于对x分量的影响。风向对尾流感应磁场的影响存在周期为π的周期性，当舰船运动方向与风向平行时海浪对尾流感应磁场的影响最大，当舰船运动方向与风向垂直时海浪对尾流感应磁场的影响最小。当风速小于船速时，海浪对舰船尾流感应磁场的影响较弱，在“V”形区域内尾流感应磁场占主导作用；当风速大于船速时，随着风速的继续增加，海水中海浪感应磁场的强度显著增大，对尾流感应磁场的影响明显增强，在“V”形区域内尾流感应磁场逐渐被海浪感应磁场所覆盖。与风速变化所产生的影响差异比较明显相比，风向变化对尾流感应磁场影响的差别相对要小。

参考文献