高凝高黏原油在中国原油产量中占有很大比例, 且大多是含蜡量或胶质含量较高的稠油^[1-2]。近年来, 国内外学者提出了很多蜡沉积模型^[3-8], 但大都基于室内试验研究沉积规律, 且多侧重于油气在输油管道中的情况。姜彬等^[9]通过试验研究了蜡沉积对渗透率的影响, 并与常规两相热采模型进行对比; 姚凯等^[10]建立了基于冷伤害机制的蜡沉积——溶解模型, 结合径向流模型进行了求解; 聂向荣等^[11]耦合温度场与渗流场, 建立了毛管束蜡沉积等体积模型, 并对渗透率损伤进行了数学表征。笔者在前人研究成果的基础上, 从微观渗流机制出发, 推导沉积厚度与地层孔隙度、渗透率、产量变化的关系式, 对储层伤害程度进行评价, 并分析注水温度对蜡沉积的影响。

1 考虑蜡沉积的储层伤害模型建立 1.1 蜡沉积机制及主要影响因素

蜡沉积的机制主要包括分子扩散、剪切弥散、布朗扩散以及重力沉降^{[2, 12]}, 分子扩散被认为是蜡在原油中析出并沉积的最主要动力, 现有的蜡沉积模型多在该机制的基础上建立。当原油温度低于析蜡点时, 原油中的蜡分子会在饱和液相中析出, 如果孔隙壁面的温度低于油温, 油壁温差将导致溶解蜡分子和蜡晶颗粒产生径向浓度梯度, 浓度梯度及流动影响使蜡晶颗粒以分子扩散、剪切弥散以及布朗运动等方式向壁面迁移, 并借助分子间的范德华力沉积在孔隙壁面上。

影响蜡沉积的因素有很多, 主要包括原油组分、温度、原油流速、压力以及开发时间等。原油组分是影响蜡沉积的内因, 温度和原油流速是影响蜡析出的主要外因, 由于温差的存在, 蜡晶颗粒在管壁附近产生浓度梯度, 导致蜡晶颗粒的径向扩散; 原油流速对蜡沉积的影响主要表现为剪切作用, 速度场的存在使蜡晶颗粒以一定的角速度旋转并向管壁迁移。考虑流固相互作用对多孔介质中流动的影响^[13], 建立考虑微粒沉积的固相流化渗流力学模型, 能够更加准确地分析微观渗流过程与渗流阻力的变化特征, 有助于对产能进行准确评价。

1.2 蜡沉积物理模型的建立

高凝油注冷水开发时, 温差为造成蜡沉积的最主要因素, 为便于研究其对储层孔隙度和渗透率的影响, 模型中主要考虑温度对溶解度的影响, 忽略原油组分、剪切作用、蜡晶形状、热性质等复杂因素的影响, 仅考虑温差造成的分子扩散作用。

假设析出的蜡全部沉积在岩石孔隙表面, 将该位置处的蜡沉积量简化为等厚度的圆环^[11], 通过沉积厚度对孔隙度和渗透率的影响评价储层伤害程度, 建立物理模型，如图 1所示。

某一位置处的蜡沉积量可表示为

$ {{a}_{t}}=\int_{x}^{x+\Delta x}{a\left( x, t \right)\text{d}x}. $

(1)

式中, a_t为析出蜡晶颗粒体积占孔隙体积分数。

将蜡沉积量等效为圆环, 则满足方程:

$ {\rm{ \mathsf{ π} }}[r_0^2 - {({r_0} - h)^2}]{\text{d}}x = {a_t}{\rm{ \mathsf{ π} }}r_0^2{\text{d}}x, $

(2)

化简可得:

$ h={{r}_{0}}-{{r}_{0}}\sqrt{(1-{{a}_{t}})}\text{ }. $

(3)

蜡沉积量a_t通过蜡的溶解度C_j及含油饱和度S_oj得到:

$ {{a}_{tj}}=({{C}_{j-1}}-{{C}_{j}}){{S}_{\text{o}j}}.~ $

(4)

式中, a_tj为Δx内j时刻的蜡沉积量; r₀为岩石平均孔隙半径, m; h为等效圆环的厚度, m; C_j为某位置处j时刻的蜡溶解度; S_oj为该位置j时刻的含油饱和度。

1.3 蜡沉积伤害数学模型的建立

将地层多孔介质简化为毛管束模型^[14], 如图 2所示。

在真实岩石与假想岩石外表尺寸相同、流体性质一致、作用压差相等的条件下, 根据流量相等, 联立泊谡叶公式和达西公式可得到:

$ Q = N\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{r^4}({p_1} - {p_2})}}{{8\mu L\tau }} = \frac{{kA({p_1} - {p_2})}}{{\mu L}}, $

(5)

$ k = n\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{r^4}}}{{8\tau }}. $

(6)

根据孔隙度的定义:

$ \varphi = \frac{{An{\rm{ \mathsf{ π} }}{r^2}L\tau }}{{AL}} = n{\rm{ \mathsf{ π} }}{r^2}\tau , $

(7)

则当有厚度为h的蜡沉积时, 可计算孔隙度、渗透率的变化:

$ \frac{{\varphi ' }}{\varphi } = \frac{{{{\left( {r - h} \right)}^2}}}{{{r^2}}} = {\left( {1 - \frac{h}{\tau }\sqrt {\frac{\varphi }{{8k}}} } \right)^2}, $

(8)

$ \frac{{k\prime }}{k} = \frac{{{{\left( {r - h} \right)}^4}}}{{{r^4}}} = {\left( {1 - \frac{h}{\tau }\sqrt {\frac{\varphi }{{8k}}} } \right)^4}. $

(9)

式中, Q为液体的流量, m³/s; k和k′分别为蜡沉积前后的渗透率, m²; φ和φ′分别为蜡沉积前后的孔隙度; τ为迂曲度。

由于在不同位置处蜡沉积量不同, 油层的孔隙度和渗透率都是空间位置的函数, 如图 3所示。此时产量计算应考虑渗透率的变化^[15]。

单向流时考虑地层渗透率变化时的产量公式为

$ Q = \frac{{{p_{\text{e}}} - {p_{\text{w}}}}}{{\frac{{\mu {\text{d}}x}}{{{k_1}A}} + \frac{{\mu {\text{d}}x}}{{{k_2}A}} + \ldots + \frac{{\mu {\text{d}}x}}{{{k_N}A}}}} = \frac{{\Delta p}}{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^{i = N} \frac{1}{{{k_i}}}\frac{{\mu {\text{d}}x}}{A}}}. $

(10)

式中, p_e为注水井井底压力, Pa; p_w为生产井井底压力, Pa; μ为流体黏度, Pa·s; k_i为i位置的渗透率, m²。

由上述推导可知, 衡量蜡沉积对孔隙度、渗透率以及产能的影响, 关键是求出蜡沉积量及等效圆环的厚度, 由于蜡沉积受温度和含油饱和度的影响, 因此还须建立考虑温度场^[16-17]的渗流模型, 求解地层中温度和含油饱和度的分布。

2 渗流模型的建立及求解 2.1 渗流模型的建立

一维单向流动下的油水两相流连续性方程为

$ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{k{K_{{\text{ro}}}}}}{{{\mu _{\text{o}}}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) + {q_{{\text{vo}}}} = \varphi \left( {x,t} \right)\frac{{\partial {S_{\text{o}}}}}{{\partial t}}, $

(11)

$ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{k{K_{{\text{rw}}}}}}{{{\mu _{\text{w}}}}}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right) + {q_{{\text{vw}}}} = \varphi \left( {x,t} \right)\frac{{\partial {S_{\text{w}}}}}{{\partial t}}. $

(12)

能量守恒方程为

$ \rho v{c_p}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + {c_{\text{e}}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} - \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\lambda \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right) = 0. $

(13)

辅助方程为

$ {{S}_{\text{w}}}+{{S}_{\text{o}}}=1. $

初始条件为

$ p\left| _{t=0}={{p}_{i}}, {{S}_{\text{w}}} \right|{{\left. _{t=0}={{S}_{\text{wc}}}, \theta \right|}_{t=0}}={{\theta }_{0}}. $

外边界条件为

$ \theta {{\left| _{x=L}={{\theta }_{0}};{{q}_{\text{v}}} \right|}_{x=L}}=-{{q}_{\text{v}}}. $

内边界条件为

$ \theta {{\left| _{x=0}={{\theta }_{\text{w}}};{{q}_{\text{v}}} \right|}_{x=0}}={{q}_{\text{v}}}. $

式中, c_p、c_e、λ分别表示流体比热容、单位体积岩石饱和流体后的热容以及油层的导热系数; θ、p、S、ρ、μ、q、k、K_r、φ分别为温度、压力、饱和度、密度、黏度、体积流量、绝对渗透率、相对渗透率、孔隙度; 下标o和w分别表示油相和水相。

2.2 模型求解

根据泰勒展开式将温度场模型离散为

$ \frac{\lambda }{\Delta {{x}^{2}}}\theta _{i-1}^{j+1}+\left( \frac{\rho v{{c}_{p}}}{\Delta x}-\frac{2\lambda }{\Delta {{x}^{2}}}-\frac{{{c}_{\text{e}}}}{\Delta t} \right)\theta _{i}^{j+1}+\left( \frac{\lambda }{\Delta {{x}^{2}}}-\frac{\rho v{{c}_{p}}}{\Delta x} \right)\theta _{i+1}^{j+1}=-\frac{{{c}_{\text{e}}}}{\Delta t}\theta _{i}^{j}. $

(14)

结合边界条件, 采用有限差分算法即可求得温度分布。

渗流模型中, 结合辅助方程将含水饱和度消掉, 得到只含有压力的偏微分方程:

$ \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{k{{K}_{\text{rw}}}}{{{\mu }_{\text{w}}}}\frac{\partial p}{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{k{{K}_{\text{ro}}}}{{{\mu }_{\text{o}}}}\frac{\partial p}{\partial x} \right)+{{q}_{\text{v}}}=0. $

(15)

模型离散为

$ \frac{{{\lambda }_{i}}\frac{p_{i+1}^{j+1}-p_{i}^{j+1}}{\Delta x}-{{\lambda }_{i-1}}\frac{p_{i}^{j+1}-p_{i-1}^{j+1}}{\Delta x}}{\Delta x}+{{q}_{\text{v}}}=0. $

(16)

结合内外边界条件得到方程组, 采用追赶法进行求解, 即可得到压力分布。

将求得的压力带入水相的连续性方程中, 可得差分方程为

$ \frac{\lambda _{\text{w}i}^{j}\frac{p_{i+1}^{j+1}-p_{i}^{j+1}}{\Delta x}-\lambda _{\text{w}i-1}^{j}\frac{p_{i}^{j+1}-p_{i-1}^{j+1}}{\Delta x}}{\Delta x}+{{q}_{\text{wv}i}}=\varphi \frac{S_{\text{w}i}^{j+1}-S_{\text{w}i}^{j}}{\Delta t}. $

(17)

求解步骤:①通过有限差分法求解温度分布; ②由温度计算j时刻任意位置的蜡溶解度和原油黏度; ③由IMPES方法求解j时刻的压力和饱和度分布^[18]; ④由式(3)、(4)求解任意位置的蜡沉积量和等效圆环厚度; ⑤由式(8)、(9)计算蜡沉积影响后的孔隙度和渗透率; ⑥判断是否小于模拟时间, 是则返回步骤③计算j+1时刻的各参数, 否则循环结束。

3 实例分析 3.1 蜡沉积对地层物性参数及油田开发的影响

取注采井距120 m, 油藏的原始渗透率为1 000×10^-3 μm², 原始孔隙度为0.27, 原始温度为85 ℃, 水的黏度为0.68 mPa·s, 注入水温度为45 ℃, 原始含蜡体积分数为38%, 油层的导热系数为1.3 W/(m·℃), 单位岩石体积饱和流体后的热容为8.73×10⁵ J/℃, 地层流体在地下的比热容为3.1 J/(g·℃), 原油密度为900 kg/m³, 根据试验数据拟合析蜡控制方程为:C_i=0.004 5θ_a+0.026, 地层相渗曲线和黏温曲线如图 4和图 5所示。

利用上述参数对式(11)~(13)进行求解, 模拟生产1 200 d的地层温度、压力、含油饱和度情况, 利用渗透率突变地层的单相流理论对渗流阻力进行计算^[18-20], 衡量蜡沉积对开发效果的影响。温度变化规律及蜡沉积量分布曲线如图 6所示。可以看出, 注入冷水对地层温度场的影响不断向地层深处传播, 距离注水井越近, 蜡沉积量越大; 注入冷水对地层的影响具有一定的范围, 地层深处基本不受影响。该油藏在持续注冷水生产360 d后, 注水井附近40 m范围内受到冷水的影响, 并产生了蜡的沉积。蜡沉积量在水井附近急剧下降, 这是因为蜡沉积量是剩余油饱和度和温度的函数, 注水生产后水井附近剩余油被迅速驱走导致蜡沉积量的急剧下降。

在一定注水时间下的油藏渗透率和孔隙度分布曲线如图 7所示。温度传播距离的有限性导致孔隙度和渗透率变化具有类似的规律, 即随着距离的增大, 渗透率和孔隙度伤害逐渐减小; 随着时间的延长, 渗透率和孔隙度损伤不断增大, 在一定时间内, 蜡沉积对孔隙度和渗透率的损伤具有一定的影响范围。

根据式(10)对产能进行评价, 计算产量的变化情况, 如图 8所示。考虑地层中的蜡沉积时, 产量有所下降, 这主要由渗流阻力的增大引起, 渗流阻力$\mathop {\mathop \sum \limits^{i = N} }\limits_{i = 1} {\mkern 1mu} \frac{1}{{{k_i}}}\frac{{\mu \text{d}x}}{A}$与地层流体的流度有关, 地层温度场的变化和石蜡的析出导致原油黏度增大、渗透率降低, 二者都使渗流阻力增大, 图 8中分别对比了渗透率和黏度变化对渗流阻力和产量的影响, 从图 8中可以看出, 渗透率减小对渗流阻力的影响略大于黏度变化的影响, 蜡沉积造成油井产量的明显下降。

3.2 不同注入水温度对蜡沉积程度及储层伤害程度的影响

油层温度为45 ℃, 不同注入水温度下见水前后驱替前缘含水饱和度分布如图 9所示。可以看出, 注入水温度较低时(25、35 ℃), 水驱前缘跃变程度减弱, 前缘含水饱和度降低, 油井较早见水。这是由于温度的降低使原油黏度大幅降低, 油水黏度差增大, 导致水突进。随着注入水温度的增加, 对含水饱和度曲线的影响逐渐减小, 当注水温度低于55 ℃时, 驱替速度明显变慢, 高于55 ℃时注水温度的影响很小, 但加热注入水要消耗大量能量, 因此当注入水温度略高于油层析蜡点温度时开发效果较好, 即针对该油藏注入55 ℃水较为合适。

不同注入水温度下, 孔隙度和渗透率变化曲线如图 10所示。可以看出, 注入水温度越低, 孔隙度和渗透率伤害越严重, 在注入水25 ℃时, 渗透率和孔隙度分别变为原来的72%和84.2%, 35 ℃时渗透率和孔隙度分别变为原来的77%和87.5%, 温度越低, 孔隙度和渗透率变化越明显。

4 结论

(1) 随着注水温度的降低, 油藏伤害加重, 但当注入水温度高于一定值时这一规律不再显著, 原油中蜡的析出使驱替前缘跃变程度减弱, 前缘含水饱和度降低, 油井见水时间缩短。注入热水会产生一定的经济成本, 选择注水温度略高于析蜡点温度较为合适。

(2) 建立的模型中没有考虑注水井附近注入水对沉积蜡的冲刷, 导致水井附近蜡沉积量的计算值偏大, 与地层实际情况有一定的偏差, 但不影响整体规律的研究。