考虑表面效应设计微/纳机电系统(MEMS/NEMS)、原子力显微镜(AFM)和基于纳米机械振子的光学质谱仪等已成为当前科学研究的热点。以石墨烯纳米薄膜为代表的纳米板/膜等纳米弹性结构, 作为一种高灵敏度、高频率器件广泛应用于这些系统的传感器和共振器中^[1-5]。对于纳米材料的力学问题研究, 主要有Gurtin等^[6]提出的表面弹性理论、Eringen等^[7]提出的非局部弹性理论和Aifantis^[8]的应变梯度弹性理论等。基于这些理论的纳米梁的振动问题已取得丰富的研究成果^[9-12]。纳米板属于二维几何结构, 其动力学问题研究更为复杂。徐巍等^[13]研究了四边简支的石墨烯矩形中厚度板的振动, 得到非局部参数和各阶频率之间的关系。Ilkhani等^[14]基于非局部弹性理论, 由波传播法研究了石墨烯膜的自由振动的固有频率。Xu等^[15]研究了Kirchhoff和Mindlin两种矩形板的弯曲和振动问题。Wang等^[16]基于表面弹性理论研究了矩形Kirchhoff和Mindlin两类板的振动问题, 得到了表面残余应力和板的振动周期、振动速度的幅值之间的关系。实际工程中有许多板为圆形板^[17], Sahmani等^[18-19]研究了考虑表面效应的圆板后屈曲构型附近的自由振动及圆板在电场中的“吸合”电压等振动的不稳定性问题^[19]。但这些文献中采用高阶剪切变形板理论, 考虑了板厚度方向的切应变; 而实际工程中, 许多纳米传感器及谐振器都是薄板, 无须考虑沿厚度方向的切应变。国内外文献中尚未报道不考虑表面效应的圆形纳米薄板的动力学问题研究。笔者建立纳米圆板振动的动力学模型, 并研究表面效应参数对振动固有频率的影响。

1 Gurtin 表面弹性理论

Gurtin 等提出的弹性理论中认为固体表面是一层厚度为零的薄膜, 其材料属性与底层块体不同, 因而具有不同的本构关系。对于底层块体, 假设满足广义胡克定律, 对于表面层, 建议采用的应力应变关系张量^[6]为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\sigma _{\alpha \beta }}^{\rm{s}} = {\tau ^{\rm{s}}}{\delta _{\alpha \beta }} + ({\tau ^{\rm{s}}} + {\lambda ^{\rm{s}}}){\varepsilon _{vv}}{\delta _{\alpha \beta }} + 2({\mu ^{\rm{s}}} - {\tau ^{\rm{s}}}){\varepsilon _{\alpha \beta }} + {\tau ^{\rm{s}}}{u_{\alpha ,\beta }}^{\rm{s}},\\ {\sigma _{\alpha 3}}^{\rm{s}} = {\tau ^{\rm{s}}}{u_{3,\alpha }}^{\rm{s}}, \end{array} \right. $

(1)

其中

$ {\delta _{\alpha \beta }} = \left\{ \begin{array}{l} 1, \alpha = \beta ;\\ 0, \alpha \ne \beta . \end{array} \right. $

式中, λ^s和μ^s为表面层的拉梅常数; τ^s为无应变条件下的表面残余应力; (α, β)=1, 2;δ_αβ为Kroneckler delta符号。

Young-Laplace方程原本描述的是两层静态液体接触面上下的压力差, Gurtin等在推导表面弹性理论时, 将其使用范围扩展到固体领域。认为表面层和底层固体材料的接触面是一层无厚度的几何表面, 由于表面张力或薄膜张力现象, 使得接触面的上下两侧存在压力差, 并且压力差与接触面的几何形状有关。Young-Laplace方程表明, 压力差Δp与两个相互垂直方向上的曲率之和存在线性比例关系, Δp=γ∇²w, 其中, ∇²w为曲面的曲率, γ表示残余表面应力或残余薄膜应力。

2 周边固定轴对称纳米圆板振动微分方程

图 1所示纳米圆板的半径和厚度分别为R和h。在板的中面中心上建立柱坐标系(r, θ, z), 其中r和θ分别沿着径向和周向, z沿着厚度方向竖直向下, z=±h/2。根据Gurtin表面弹性理论, 依据材料属性将厚度为纳米级的板划分为3部分, 即上、下表面和内部的固体材料。上、下表面具有表面材料参数μ^s、λ^s和τ^s, 固体内部材料的弹性模量、泊松比和材料密度分别为E、ν和ρ。假设当板产生弯曲变形时, 表面材料与内部固体材料之间无相对滑动。根据小变形假设, 沿z向位移w不随厚度变化。

变形后表面层的形状即为薄板的挠曲面, 因此变形后轴对称圆板的曲率∇²w可表示为

$ {\nabla ^2}w = \frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}}{r^2}}} + \frac{{1\;{\rm{d}}w}}{{r\;{\rm{d}}r}}. $

(2)

上、下表面层和内部固体材料之间均存在压力差, 例如, 在上表面上存在压力差, 依据Young-Laplace方程, 可得到上表面上压力差q^u=τ^u∇²w和下表面上压力差q^b=τ^b∇²w, 因此, 忽略薄板的重力, 实际产生总的横向载荷为

$ {q^{\rm{s}}} = {q^u} + {q^b} = \left( {{\tau ^u} + {\tau ^b}} \right){\nabla ^2}w. $

(3)

式中, τ^u和τ^b分别表示和上、下表面残余应力相关的参数。

只讨论上、下残余表面应力相等的情况, 即τ^u=τ^b=τ₀, 并对横向载荷进行修正后得到

$ {q^{\rm{s}}} = 2{\tau _0}{\nabla ^2}w. $

(4)

由式(2)~(4)可以得到整个薄板的应变能U为

$ \begin{array}{l} U = \frac{1}{2}{\smallint _V}({\sigma _{\alpha \beta }}{\varepsilon _{\alpha \beta }}){\rm{d}}V + \\ \frac{1}{2}\left( {{\smallint _{{S^ + }}}{\tau _{\alpha \beta }}{\varepsilon _{\alpha \beta }}{\rm{d}}S + {\smallint _{{S^-}}}{\tau _{\alpha \beta }}{\varepsilon _{\alpha \beta }}{\rm{d}}S} \right). \end{array} $

(5)

外力功W为

$ W = {\smallint _S}{q^{\rm{s}}}w{\rm{d}}S. $

(6)

同时, 纳米板的总动能T为

$ T = \frac{1}{2}\int_S {\int_{_{-h/2}}^{^{h/2}} {\rho {{\dot w}^2}{\rm{d}}z{\rm{d}}S} } . $

(7)

基于Hamilton原理,

$ \delta \int_{{t_0}}^{{t_f}} {L{\rm{d}}t = 0}, $

其中

L=T-U+W.

式中, δ为变分算子; L为广义的拉格朗日函数。

得到振动微分方程为

$ D\prime {\nabla ^4}w + \rho h\ddot w-2{\tau _0}{\nabla ^2}w = 0, $

(8)

其中

$ D\prime = {D_1} + \frac{1}{2}({\lambda ^{\rm{s}}} + 2{\mu ^{\rm{s}}}){h^2}, {D_1} = \frac{{E{h^3}}}{{12\left( {1-{\nu ^2}} \right)}}. $

式中, D₁为经典的弹性力学参数; D′为考虑表面弹性的参数。

对于周边固支的轴对称圆板, 其边界条件可以表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} r = 0, w\left( {0, t} \right) \ne \infty, \\ r = R, w\left( {R, t} \right) = 0, \frac{{\partial w\left( {R, t} \right)}}{{\partial r}} = 0. \end{array} \right. $

(9)

方程(7)的解可表示为

$ w\left( {r, t} \right) = Z(r){{\rm{e}}^{{\rm{i}}ft}}. $

(10)

式中, f为振动固有频率。

将方程(10)代入方程(8)中, 可得到两个常微分方程分别为

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}Z}}{{{\rm{d}}{r^2}}} + \frac{{1\;{\rm{d}}Z}}{{r\;{\rm{d}}r}} + {k_1}^2\;Z = 0, $

(11)

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}Z}}{{{\rm{d}}{r^2}}} + \frac{{1\;{\rm{d}}Z}}{{r\;{\rm{d}}r}}-{k_2}^2Z = 0. $

(12)

其中

$ \begin{array}{l} {k_1}^2 = \frac{{\sqrt {{\tau _0}^2 + D\prime \rho h{f^2}}-{\tau _0}}}{{D\prime }}, \\ {k_2}^2 = \frac{{\sqrt {{\tau _0}^2 + D\prime \rho h{f^2}} + {\tau _0}}}{{D\prime }}. \end{array} $

方程(11)和(12)分别为0阶和0阶修正的贝塞尔方程, 其解分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} {Z_1}\left( r \right) = {C_1}{J_0}\left( {{k_1}r} \right) + {C_2}{Y_0}\left( {{k_1}r} \right), \\ {Z_2}\left( r \right) = {C_3}{I_0}\left( {{k_2}r} \right) + {C_4}{K_0}({k_2}r). \end{array} \right. $

(13)

式中, C₁~ C₄为4个积分常数, 需要由边界条件确定; J₀和Y₀分别为0阶的第一类和第二类贝塞尔函数; I₀和K₀分别为0阶的第一类和第二类虚宗量的(修正的)贝塞尔函数。

微分方程(8)的通解为

$ Z\left( {r, , t} \right) = [{C_1}{J_0}\left( {{k_1}r} \right) + {C_2}{Y_0}\left( {{k_1}r} \right) + {C_3}{I_0}\left( {{k_2}r} \right) + {C_4}{K_0}({k_1}r)]{{\rm{e}}^{{\rm{i}}ft}}. $

(14)

将式(14)代入方程(9)得到

$ \frac{{{\rm{d}}Z(R)}}{{{\rm{d}}r}} = 0, Z\left( R \right) = 0. $

(15)

将式(15)代入式(13), 得到两端固支圆板的振型函数Z(r)为

$ Z\left( r \right) = {C_1}{J_0}\left( {{k_1}r} \right) + {C_3}{I_0}\left( {{k_2}r} \right). $

(16)

整理式(16), 得到

$ Z\left( r \right) = {C_1}\left[{{J_0}\left( {{k_1}r} \right)-\frac{{{J_0}\left( {{k_1}R} \right)}}{{{I_0}\left( {{k_2}R} \right)}}{I_0}\left( {{k_2}r} \right)} \right]. $

(17)

3 数值仿真及其分析

研究表面效应参数对纳米圆板前4阶固有频率以及前4阶振型的影响规律。分别对不同厚度和不同半径的板进行数值仿真。在没有特殊说明的情况下, 数值仿真采用的材料参数^[18]如下:E=177.3 GPa, v=0.27, ρ=7000 kg/m ³, μ^s=2.5 N/m, λ^s=-8 N/m, R=6 μm和h=100 nm。

3.1 残余表面应力对固有频率影响

f_i(τ₀)(i=1, …, 4)分别为第1至第4阶主振动的固有频率, 均为τ₀的函数, f_i(0)(i=1, …, 4)即为τ₀=0时不考虑残余表面应力板的前4阶固有频率。仿真得到f_i(0)(i=1, …, 4)分别为4.280×10⁷、16.661×10⁷、37.329×10⁷和66.269×10⁷ rad/s。取${P_i} = \frac{{{f_i}({\tau _0})}}{{{f_i}\left(0 \right)}}{\rm{ }}\left({i = 1, \ldots, 4} \right)$, 得到P_i和τ₀的关系如图 2所示。

从图 2中可以看出, P_i随着τ₀的增大而减小, P₁下降最多, 依次为P₂和P₃, P₄下降最小。此规律表明, 随着残余表面应力增大, 每一阶固有频率均有下降趋势, 但一阶固有频率下降最多, 当τ₀=2时仅为τ₀=0时的47.3%。随着主振动阶数增大, 固有频率下降幅度减小。对于第3、4阶主振动, 当τ₀=2时的固有频率为τ₀=0时的94.9%和97.1%。说明残余表面应力对一阶固有频率的影响较大, 对高阶固有频率的影响较小。这主要因为一阶主振动时, 板的曲率接近于定值或者为正或者为负, 表面残余应力方向为单向且绝对值较大。而板以高阶固有频率振动时, 板的曲率有正有负, 因此在板的表面上在不同区域存在指向相反的残余应力且绝对值较小。因此表面效应对一阶固有频率的影响远大于对高阶固有频率的影响。

进一步研究残余表面应力对不同厚度圆板的一阶固有频率影响, 如图 3所示。数值计算表明, 当板的厚度h=80, 100, 120和140 nm时, τ₀=0时的一阶固有频率p₁=3.4234×10⁷, 4.2780×10⁷, 5.136×10⁷和5.992×10⁷ rad/s。当h=80 nm, τ₀>1.6时, 一阶固有频率不存在, 这意味着板越来越“软”, 以至于不能发生振动。

从图 3中可以看出, 随着残余表面应力参数增大, 所有厚度板的一阶固有频率降低, 但是板的厚度越小, 表面效应的影响越大。从图 3可以看出, τ₀取相同值时, 板的厚度越大, P₁越接近1, 即越接近不考虑表面效应的固有频率。此研究结果与文献[17]中结果相一致。

图 4为当h=140 nm不同半径的板, 残余表面应力对一阶固有频率的影响。由图 4可见, 一阶固有频率均随着τ₀的增大而减小; 但板的半径越大, 残余表面应力的影响越大。

3.2 残余表面应力对振型函数的影响

图 5为不同残余表面应力纳米板的4阶主振型。

从图 5(a)可以看出, 在中心r=0处, 随着残余表面应力τ₀增大, Z(r)/C₁减小。这表明随着表面效应增强, r=0处的振幅将减小。半径在1.33 μm < r < 1.78 μm内, 几条曲线非常接近, 即此区间内残余表面应力对振动幅值影响较小。在r≈4 μm附近, 随着残余表面应力增强, 振幅将增大。从图 5(b)可以看出, 残余表面应力对圆板中心处的影响很小, 但在1 μm < r < 3 μm处随着表面残余应力增强, 振幅增大; 在3.82 μm < r < 4.20 μm内, 曲线很接近, 振幅几乎相等。在4 μm < r < 6 μm处, 随着残余表面应力增强, 振幅减小。由图 5(c)和5(d)可以看出, 几条曲线基本接近, 残余表面应力的影响逐渐减弱, 说明残余表面应力对高阶主振型的影响较小。造成此结果的原因和其对固有频率影响的原因类似。

4 结论

(1) 随着残余表面应力增大, 前4阶固有频率均降低, 但残余表面应力对一阶固有频率的影响最大; 随着振动阶数增加, 残余表面应力对固有频率影响依次减弱。

(2) 当板的几何尺寸变化时, 板越薄或者半径越大, 残余表面应力对固有频率的影响越大。残余表面应力对一阶主振型的影响和固有频率类似, 其对一阶主振型的影响最大, 随着阶数增加, 影响依次减弱。