罗茨真空泵是一种回转式流体机械, 具有运行平稳、结构简单、无易损件、干式无油等优点, 在石油、化工和电子等领域有广泛应用。罗茨转子型线及其共轭啮合性对罗茨真空泵的运行效率和面积利用系数影响很大, 因此罗茨转子型线的合理设计至关重要。目前常用的罗茨转子型线有圆弧型和渐开线型。为了提升罗茨转子的性能, 国内外专家学者做了大量研究工作, 彭学院等^[1]采用直线连接圆弧和圆渐开线的方法提高了转子的性能。刘坤等^[2]引入形状参数和峰顶参数对两段圆弧和一段圆弧共轭包络线的罗茨转子型线进行了研究。蔡玉强等^[3]对渐开线型转子进行改进, 改善了转子性能。秦丽秋等^[4]将圆弧型转子型线进行了改进, 把圆弧与圆弧的啮合改成了圆弧与圆弧共轭包络线的拟合, 提高了转子的面积利用系数。朱超颖等^[5]通过C语言编程得到了一种新型转子。Yang等^[6-9]基于啮合原理提出了一种非圆节曲线型罗茨转子型线。Chiu-Fan等^[10-11]提出了椭圆摆线型转子型线和基于多项式的变摆线型转子型线, 建立了数学模型, 并对不同参数的转子进行了讨论。笔者提出一种新型椭圆弧型转子型线, 得到各段曲线的解析方程, 在此基础上对该转子型线的根切、余隙容积和面积利用系数进行分析和讨论, 基于Matlab设计无根切、无余隙容积的罗茨转子程序, 并将新型椭圆弧型转子与传统型线进行对比, 验证其优越性。

1 转子型线基础理论 1.1 罗茨转子坐标系

罗茨转子设计计算中所采用的坐标系如图 1所示, 其中O₁x₁y₁为左转子的动坐标系, O₂x₂y₂为右转子的动坐标系, O₁X₁Y₁为左转子的静坐标系, O₂X₂Y₂为右转子的静坐标系。φ为动坐标系O₁x₁y₁和动坐标系O₂x₂y₂所转过的角度, rad; ω为动坐标系O₁x₁y₁和动坐标系O₂x₂y₂旋转的角速度, rad/s。

椭圆弧段的方程可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a\sin \beta + l}\\ {b\cos \beta }\\ 1 \end{array}} \right]. $

(1)

式中, a和b分别为椭圆弧段的长半轴及短半轴长度, mm; l为节圆中心O₁到椭圆弧段中心的位移, mm; β为椭圆弧段的角度, rad。

1.2 啮合原理

啮合方程为

$ f\left( {\beta ,\varphi } \right) = {\mathit{\boldsymbol{n}}_1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\left( {12} \right)}} = 0. $

(2)

其中

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_1} = \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_1}}}{{\partial \beta }} \times \mathit{\boldsymbol{k}} = \left( {\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial \beta }}\mathit{\boldsymbol{i + }}\frac{{\partial {y_1}}}{{\partial \beta }}\mathit{\boldsymbol{j}}} \right) \times \mathit{\boldsymbol{k}} = \frac{{\partial {y_1}}}{{\partial \beta }}\mathit{\boldsymbol{i}} - \frac{{\partial {x_1}}}{{\partial \beta }}\mathit{\boldsymbol{j}}, $

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\left( {12} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{v}}_{x1}^{\left( {12} \right)}i + \mathit{\boldsymbol{v}}_{y1}^{\left( {12} \right)}\mathit{\boldsymbol{j = }}\left( {{\omega ^{\left( 1 \right)}} - {\omega ^{\left( 2 \right)}}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{r}}_1} - 2{\mathit{\boldsymbol{R}}_2} \times {\omega ^{\left( 1 \right)}}, $

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_2} = {R_2}\cos \varphi \mathit{\boldsymbol{i + }}{R_2}\sin \varphi \mathit{\boldsymbol{j}}, $

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^{\left( 1 \right)}} = - \frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}}\mathit{\boldsymbol{k}}, $

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}^{\left( 2 \right)}} = \frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}}\mathit{\boldsymbol{k}}. $

式中, n₁为过啮合点的两曲线的公法矢量; v⁽¹²⁾为啮合点处的相对运动矢量。

为了计算简便, 令$\frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}}{\rm{ = }}1$, 得到

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^{\left( {12} \right)}} = \left( { - 2{R_2}\sin \varphi + 2{y_1}} \right)\mathit{\boldsymbol{i}} + \left( { - 2{x_1} + 2{R_2}\cos \varphi } \right)\mathit{\boldsymbol{j}}. $

(3)

将式(3)带入式(2)可得

$ \begin{array}{l} f = b\cos \beta \left( { - 2{R_2}\sin \varphi + 2b\sin \beta } \right) + \\ a\sin \beta \left( { - 2a\cos \beta - 2l + 2{R_2}\cos \varphi } \right) = 0. \end{array} $

(4)

由式(4)可以得

$ \varphi = \arctan \frac{{\left\{ {b\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left[ {\sin \left( {3\beta } \right) + \sin \beta } \right] + 2abl\sin \left( {2\beta } \right) - 2a\sin \left( \beta \right)N} \right\}}}{{\left\{ {a\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left[ {\cos \left( {3\beta } \right) - \cos \beta } \right] - 4l{a^2}{{\sin }^2}\beta - 2b\cos \left( \beta \right)N} \right\}}}, $

(5)

其中

$ N = \sqrt {2al\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left[ {\cos \left( {3\beta } \right) - \cos \beta } \right] + 4{a^2}{{\sin }^2}\beta \left( {R_2^2 - {l^2}} \right) + 4R_2^2{b^2}{{\cos }^2}\beta - {{\sin }^2}\left( {2\beta } \right)\left( {{b^4} - 2{a^2}{b^2} + {a^4}} \right)} . $

与椭圆弧段共轭的曲线可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{20}}{\mathit{\boldsymbol{M}}_{01}}{\mathit{\boldsymbol{r}}_1}, $

(6)

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{20}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&{ - 2{R_2}\cos \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi }&{2{R_2}\sin \varphi }\\ 0&0&1 \end{array}} \right], $

其中

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{01}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&0\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]. $

得到椭圆弧共轭包络线段的方程为

$ {r_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}\cos \left( {2\varphi } \right) + {y_1}\sin \left( {2\varphi } \right) - 2{R_2}\cos \varphi }\\ { - {x_1}\sin \left( {2\varphi } \right) + {y_1}\cos \left( {2\varphi } \right) + 2{R_2}\cos \varphi }\\ 1 \end{array}} \right]. $

(7)

式中, R₂为节圆半径, mm。

1.3 椭圆短半轴求解

如图 2所示, 点C₁的坐标为$\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{R_2}, \frac{{\sqrt 2 }}{2}{R_2}} \right)$, O₃为椭圆弧段A₁B₁C₁的中心, 在ΔO₁C₁O₃中, 由余弦定理可得

$ {O_1}C_1^2 = R_2^2 + {l^2} - 2{R_2}l\cos \left( {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{4}} \right). $

(8)

椭圆弧段A₁B₁C₁的方程为

$ \frac{{{{\left( {x - l} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1. $

(9)

根据椭圆性质, 可得

$ {O_1}C_1^2 = \frac{1}{2}R_2^2\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right) + {a^2}. $

(10)

由式(8)、(10)解得

$ b = \frac{{{R_2}a}}{{\sqrt {2\sqrt 2 l{R_2} - R_2^2 + 2{a^2} - 2{l^2}} }}. $

(11)

1.4 椭圆弧段角度α求解

如图 3所示, MC₁H垂直于x轴, 因此M点的横坐标为

$ {x_M} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{R_2}. $

(12)

将x_M带入到半径为a, 圆心为O₃的圆中, 可得到线段MH的长度为

$ MH = \frac{{\sqrt {4{a^2} - 4{l^2} + 4\sqrt 2 {R_2}l - 2R_2^2} }}{2}. $

(13)

由几何关系可得

$ \alpha = arctan\left( {\frac{{\sqrt {4{a^2} - 4{l^2} + 4\sqrt 2 {R_2}l - 2R_2^2} }}{{\sqrt 2 {R_2} - 2l}}} \right). $

(14)

根据椭圆的位置关系以及椭圆弧段角度β与α之间的关系, 可知:

当$l \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}{R_2}$时,

$ - \alpha \le \beta \le \alpha . $

(15)

当$l \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2}{R_2}$时,

$ - {\rm{ \mathit{ π} }} - \alpha \le \beta \le {\rm{ \mathit{ π} }} + \alpha . $

(16)

2 转子根切和余隙容积分析 2.1 转子根切现象

根据齿轮啮合原理^[12], 转子出现根切现象的条件为

$ {v_{r2}} = {v_{r1}} + {v_{12}} = 0, $

(17)

其中

$ {v_{r1}} = \frac{{{\rm{d}}{r_1}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}{x_1}}}{{{\rm{d}}\beta }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}}i + \frac{{{\rm{d}}{y_1}}}{{{\rm{d}}\beta }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}}j. $

式中, v_r1表示在坐标系O₁x₁y₁中啮合点沿椭圆弧段运动的相对速度, mm/s; v_r2表示在坐标系O₂x₂y₂中啮合点沿椭圆弧共轭包络线段运动的相对速度, mm/s; v₁₂为啮合点处的相对运动速度, mm/s。

由式(17)有v_r1=-v_r2, 所以

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}{x_1}}}{{{\rm{d}}\beta }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} = - v_{x1}^{\left( {12} \right)},\\ \frac{{{\rm{d}}{y_1}}}{{{\rm{d}}\beta }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} = - v_{y1}^{\left( {12} \right)}. \end{array} \right. $

(18)

将式(2)对t取全微分得

$ \frac{{\partial f}}{{\partial \beta }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}} = 0. $

(19)

联立式(18)、(19)得

$ {\xi _1}{\rm{ = }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial \beta }}}&{ - v_{x1}^{\left( {12} \right)}}\\ {\frac{{\partial f}}{{\partial \beta }}}&{ - \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}}} \end{array}} \right| = 0. $

$ {\xi _2}{\rm{ = }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {y_1}}}{{\partial \beta }}}&{ - v_{y1}^{\left( {12} \right)}}\\ {\frac{{\partial f}}{{\partial \beta }}}&{ - \frac{{\partial f}}{{\partial \varphi }} \cdot \frac{{{\rm{d}}\varphi }}{{{\rm{d}}t}}} \end{array}} \right| = 0. $

将x₁、y₁、v_x1⁽¹²⁾、v_y1⁽¹²⁾、f带入这两式, 得

$ \begin{array}{l} {\xi _1} = - 2a\sin \beta \left( {b{R_2}\cos \beta \cos \varphi + a{R_2}\sin \beta \sin \varphi } \right) + 4\left[ {\left( {{b^2} - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{a^2}} \right)\cos \left( {2\beta } \right) + {R_2}\left( {b\sin \beta \sin \varphi + a\cos \beta \cos \varphi } \right) - al\cos \beta } \right] \times \\ \left( {b\sin \beta - {R_2}\sin \varphi } \right) = 0. \end{array} $

(20)

$ \begin{array}{l} {\xi _2} = 2b\sin \beta \left( {b{R_2}\cos \beta \cos \varphi + a{R_2}\sin \beta \sin \varphi } \right) + 4\left[ {\left( {{b^2} - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{a^2}} \right)\cos \left( {2\beta } \right) + {R_2}\left( {b\sin \beta \sin \varphi + a\cos \beta \cos \varphi } \right) - al\cos \beta } \right] \times \\ \left( { - a\cos \beta - l + {R_2}\cos \varphi } \right) = 0. \end{array} $

(21)

图 4为转子的根切。发生根切的两个罗茨转子之间会出现很大的间隙, 导致罗茨真空泵的运行效率大幅下降, 因此要避免发生根切。

2.2 曲率分析

椭圆弧段的曲率可表示为

$ {k_1} = \frac{{\left| {\mathit{\boldsymbol{r}}_\beta ^{\left( 1 \right)} \times \mathit{\boldsymbol{r}}_{\beta \beta }^{\left( 1 \right)}} \right|}}{{{{\left| {\mathit{\boldsymbol{r}}_\beta ^{\left( 1 \right)}} \right|}^3}}}, $

(22)

其中

$ r_\beta ^{\left( 1 \right)} = \frac{{\partial {r_1}}}{{\partial \beta }} = a\cos \beta i - b\sin \beta j, $

$ r_{\beta \beta }^{\left( 1 \right)} = \frac{{\partial r_\beta ^{\left( 1 \right)}}}{{\partial \beta }} = - a\sin \beta i - b\cos \beta j. $

由式(22)可得

$ {k_1} = \frac{{ab}}{{{{\left( {{a^2}{{\cos }^2}\beta + {b^2}{{\sin }^2}\beta } \right)}^{1.5}}.}} $

(23)

曲率中心坐标为(C_x, C_y), 表示为

$ \begin{array}{l} {C_x} = {x_1} - \frac{{y'{\;_1}\left[ {{{\left( {{{x'}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{y'}_1}} \right)}^2}} \right]}}{{y'{\;_1}^\prime x'{\;_1} - y'{\;_1}x'{\;_1}^\prime }} = \\ \cos \beta \left[ {a - \frac{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}\beta + {b^2}{{\cos }^2}\beta } \right)}}{a}} \right] + l, \end{array} $

$ \begin{array}{l} {C_y} = {y_1} - \frac{{x'{\;_1}\left[ {{{\left( {{{x'}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{y'}_1}} \right)}^2}} \right]}}{{y'{\;_1}^\prime x'{\;_1} - y'{\;_1}x'{\;_1}^\prime }} = \\ \sin \beta \left[ {b - \frac{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}\beta + {b^2}{{\cos }^2}\beta } \right)}}{b}} \right]. \end{array} $

曲率中心到节圆圆心的距离为

$ C\left( \beta \right) = \sqrt {C_x^2 + C_y^2} . $

(24)

通常情况下两个转子在运动过程中为单点啮合, 当max[C(β)]>R₂时两个转子在啮合过程中会出现如图 5所示的1、2两个啮合点, 即两个转子之间出现余隙容积, 这种情况会造成返流气体的增多, 从而降低了罗茨真空泵的工作效率, 因此在设计罗茨转子时要避免余隙容积产生。

2.3 无根切、无余隙容积的程序设计

基于Matlab设计了无根切、无余隙容积转子设计分析程序, 程序流程如图 6所示。步骤如下:

(1) 输入转子的参数a、l、R₂, 根据式(11)得到b, 并根据l、式(15)、式(16)确定角度β的取值范围。

(2) 为了获得更精确的结果, 根据式(20)、式(21)并定义ξ=ξ₁²+ξ₂²。

如果ξ=0, 转子将发生根切, 然后返回(1)重新输入参数; 如果ξ≠0, 则转子无根切, 进行下一步。

(3) 根据式(24)可得出max[C(β)], 如果max[C(β)]>R₂, 转子在运动过程中将出现余隙容积, 然后返回(1)重新输入参数; 如果max[C(β)]≤R₂, 则转子无余隙容积, 进行下一步。

(4) 输出曲线之间全部光滑连接的转子型线, 并分析转子的面积利用系数, 现定义η为转子的面积利用系数, 可表示为

$ \eta = \frac{{{S_1} - {S_2}}}{{{S_1}}}. $

(25)

式中, S₁为转子的外圆半径旋转一周所扫过的面积, mm²; S₂为转子的横截面积, mm²。

由程序可直接得出转子的面积利用系数。

3 转子型线方程及性能分析 3.1 椭圆弧型转子的型线方程

两个椭圆弧型转子的啮合如图 7所示。其中R₁为转子的外圆半径, mm。

图中, 椭圆弧段A₁B₁C₁的方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = a\cos \beta + l,\\ {y_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = b\sin \beta . \end{array} \right. $

(26)

椭圆的共轭包络线C₁D₁E₁的方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{{C_1}{D_1}{E_1}}} = - {x_{{A_1}{B_1}{C_1}}}\sin \left( {2\varphi } \right) + {y_{{A_1}{B_1}{C_1}}}\cos \left( {2\varphi } \right) + \\ 2{R_2}\sin \varphi ,\\ {y_{{C_1}{D_1}{E_1}}} = - {x_{{A_1}{B_1}{C_1}}}\cos \left( {2\varphi } \right) - {y_{{A_1}{B_1}{C_1}}}\sin \left( {2\varphi } \right) + \\ 2{R_2}\cos \varphi . \end{array} \right. $

(27)

椭圆弧段E₁F₁G₁的方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{{E_1}{F_1}{G_1}}} = - {x_{{A_1}{B_1}{C_1}}},\\ {y_{{E_1}{F_1}{G_1}}} = - {y_{{A_1}{B_1}{C_1}}}. \end{array} \right. $

(28)

椭圆弧共轭包络线G₁H₁A₁的方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_{{G_1}{H_1}{A_1}}} = - {x_{{C_1}{D_1}{E_1}}},\\ {y_{{G_1}{H_1}{A_1}}} = - {y_{{C_1}{D_1}{E_1}}}. \end{array} \right. $

(29)

椭圆弧型转子的运动轨迹如图 8所示。验证了转子啮合的正确性。

3.2 参数变化对转子面积利用系数的影响

定义椭圆弧段短半轴与长半轴之比为λ=b/a, 为了方便对比不同转子的面积利用系数, 使转子外圆半径R₁不变, R₁=38 mm, 改变R₂和λ, 并保证转子不发生根切和余隙容积。图 9为不同参数对转子面积利用系数的影响。

由图 9可知, 随着λ、R₂增大, 面积利用系数η减小, 当λ=x时, 为圆弧型转子, 因此椭圆弧型转子的面利用系数要高于圆弧型转子, 而圆弧型转子只是椭圆弧型转子的一种特殊情况。

表 1为面积利用系数对比。由表 1可知, 在保证椭圆弧型转子无根切、无余隙容积的情况下, 尽量减小λ, 得到较大面积利用系数的转子, 与渐开线型转子进行对比, 椭圆弧型转子的面积利用系数要稍大于渐开线型转子的。相比于渐开线型转子, 椭圆弧型转子具有各段曲线之间全部光滑连接、曲线段少的优点。

4 结论

(1) 由椭圆弧型转子型线生成的数学模型得到了各段曲线的解析方程和角度的取值范围。

(2) 椭圆弧型转子发生根切和余隙容积的条件中, 当max[C(β)]>R₂时转子发生余隙容积, 当ξ=0转子发生根切, 由无根切、无余隙容积的罗茨转子程序得到了各段曲线之间全部光滑连接的椭圆弧型转子。

(3) 在给定R₁时, 椭圆弧型转子的面积利用系数与λ、R₂成反比; 在相同结构尺寸下, 与传统的圆弧型和渐开线型转子相比, 椭圆弧型转子的面积利用系数最高。